一级计量师考试公式汇总
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一级计量师考试公式汇总
1、实验标准偏差
(1) 贝塞尔公式，适用于测量次数较多的情况
\[ s(x) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \]式中：
- \(\bar{x}\)——测量的算术平均值；
- \(x_i - \bar{x}\)——残差；
- \(\nu = n-1\)——自由度。
(2) 极差法，适用于测量次数较少的情况
\[ s(x) = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{C_n} \]式中：
- \(R = x_{\max} - x_{\min}\)——极差；
- \(C_n\)——极差系数（查表）。
2、算术平均值及其实验标准偏差
(1) 算术平均值
\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \](2) 算术平均值 \(\bar{x}\) 实验标准偏差
\[ s(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} \]3、异常值的判断
(1) 拉依达准则（\(3\sigma\) 准则，只适用于 \(n>10\) 时，否则不能剔除任何数据）
\[ |x_d - \bar{x}| \ge 3s(x) \](2) 格拉布斯准则（\(n \ge 3\)）
\[ \frac{|x_d - \bar{x}|}{s(x)} \ge G(\alpha, n) \]式中：
- \(\alpha\)——显著性水平（置信概率 0.95 时，\(\alpha = 0.05\)）；
(3) 狄克逊准则（\(n \ge 3\)） 将重复观测值由小到大排序：\(x_1, x_2, x_3 ... x_n\)，其中最大值为 \(x_n\)，最小值为 \(x_1\)，则：
① 当 \(3 \le n \le 7\) 时
\[ \gamma_{10} = \frac{x_n - x_{n-1}}{x_n - x_1} \quad \gamma'_{10} = \frac{x_2 - x_1}{x_n - x_1} \]② 当 \(8 \le n \le 10\) 时
\[ \gamma_{11} = \frac{x_n - x_{n-1}}{x_n - x_2} \quad \gamma'_{11} = \frac{x_2 - x_1}{x_{n-1} - x_1} \]③ 当 \(11 \le n \le 13\) 时
\[ \gamma_{21} = \frac{x_n - x_{n-2}}{x_n - x_2} \quad \gamma'_{21} = \frac{x_3 - x_1}{x_{n-1} - x_1} \]④ 当 \(n \ge 14\) 时
\[ \gamma_{22} = \frac{x_n - x_{n-2}}{x_n - x_3} \quad \gamma'_{22} = \frac{x_3 - x_1}{x_{n-2} - x_1} \]式中：
- 当 \(\gamma_{ij} > \gamma'_{ij}\) 时，\(\gamma_{ij} > D(\alpha, n)\)，则 \(x_n\) 为异常值；
- 当 \(\gamma_{ij} < \gamma'_{ij}\) 时，\(\gamma_{ij} > D(\alpha, n)\)，则 \(x_1\) 为异常值；
- 其中 \(D(\alpha, n)\) 为狄克逊检验临界值。
4、测量重复性（下标 \(r\)）和复现性（下标 \(R\)）评定
\[ s_r(y) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n-1}} \quad \text{和} \quad s_R(y) = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2}{n-1}} \]式中：
- \(y_i\)——每次测量的测得值；
- \(n\)——测量次数，在评定重复性时，通常取 \(n=10\)；
- \(\bar{y}\)——\(n\) 次测量的算术平均值。
当被测量估计值由 \(n\) 次重复测量的平均值得到时，由重复性引入的标准不确定度分量为 \(\frac{s(y)}{\sqrt{n}}\)。
5、加权算术平均值及其实验标准偏差
(1) 加权算术平均值
\[ x_w = \frac{\sum_{i=1}^{m} W_i x_i}{\sum_{i=1}^{m} W_i} = \frac{\sum_{i=1}^{m} \frac{x_i}{u_i^2}}{\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{u_i^2}} \]式中：
- \(W_i\)——第 \(i\) 组观测结果的权，与不确定度平方成反比，即 \(W_i = \frac{1}{u_i^2}\)；
- \(\bar{x}_i\)——第 \(i\) 组的观测结果的平均值；
- \(m\)——重复观测的组数。
(2) 加权算术平均值 \(x_w\) 实验标准差
\[ s_{xw} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{m} W_i (x_i - x_w)^2}{(m-1) \sum_{i=1}^{m} W_i}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{u_i^2} (x_i - x_w)^2}{(m-1) \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{u_i^2}}} \](3) 加权算术平均值 \(x_w\) 的不确定度
\[ u_{xw} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} W_i}} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} \frac{1}{u_i^2}}} \]6、测量仪器符合性评定（合格评定）
(1) 当 \(U_{95} \le \frac{1}{3} MPEV\) 时
- 当 \(|\Delta| \le MPEV\) 时，判定为合格；
- 当 \(|\Delta| > MPEV\) 时，判定为不合格；
(2) 当 \(U_{95} > \frac{1}{3} MPEV\) 时
- 当 \(|\Delta| \le MPEV - U_{95}\) 合格，\(|\Delta| \ge MPEV + U_{95}\) 不合格；
- \(MPEV - U_{95} < |\Delta| < MPEV + U_{95}\) 待定区。
(3) 对于型式评价和仲裁鉴定，必要时 \(U_{95}\) 与 \(MPEV\) 之比也可取小于或等于 1:5。
7、测量结果的 A 类标准不确定度
\[ u_A(\bar{x}) = s(\bar{x}) = \frac{s(x)}{\sqrt{n}} \]算术平均值 \(\bar{x}\) 的实验标准偏差就是测量结果的 A 类标准不确定度，自由度为 \(n-1\)。
8、测量过程的 A 类标准不确定度评定
若每组核查的测量次数 \(n\) 相同（即自由度相同），第 \(j\) 组核查时的实验标准偏差为 \(s_j\)，共核查 \(m\) 组，则：
(1) 合并样本标准偏差 \(s_p\)（过程标准差）
\[ s_p = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{m} s_j^2}{m}} \]此时 \(s_p\) 的自由度为 \(\nu = (n-1)m\)。
(2) 在此测量过程中，以平均值作为测量结果的 A 类评定的由重复性引入的标准不确定度为
\[ u_A(\bar{x}) = \frac{s_p}{\sqrt{n}} \]9、规范化常规测量时 A 类标准不确定度评定
在规范化的常规测量中，测量 \(m\) 个同类被测量，得到 \(m\) 组数据，每组测量 \(n\) 次，第 \(j\) 组的平均值为 \(\bar{x}_j\)，则：
(1) 合并样本标准偏差 \(s_p\)（过程标准差）
\[ s_p = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{m} s_j^2}{m}} \]若对每个被测件的测量次数 \(n_j\) 不同，即各组的自由度 \(\nu_j\) 不等，各组的实验标准偏差为 \(s_j\)，则合并样本标准偏差
\[ s_p = \sqrt{\frac{\sum_{j=1}^{m} \nu_j s_j^2}{\sum_{j=1}^{m} \nu_j}} \]式中：
- \(s_j\)——第 \(j\) 组的实验标准偏差；
- \(\nu_j\)——第 \(j\) 组的自由度，\(\nu_j = n_j - 1\)。
(2) 对每个被测件测得的最佳估计值 \(\bar{x}_j\) 的 A 类标准不确定度
\[ u_A(\bar{x}_j) = \frac{s_p}{\sqrt{n}} \]10、标准不确定度的 B 类评定
\[ u_B = \frac{a}{k} \]式中：
- \(a\)——区间半宽度；
- \(k\)——包含因子。
区间半宽度 \(a\) 的确定：
- 最大允许误差为 \(\pm \Delta\)，则 \(a = \Delta\)；
- 扩展不确定度为 \(U\)，则 \(a = U\)；
- 某参数 \(X\) 的最大可能值为 \(x_{\max}\)，最小可能值为 \(x_{\min}\)，则 \[ a = \frac{x_{\max} - x_{\min}}{2} \]
- 数字式显示装置分辨力为 \(\delta\)，则 \(a = \frac{\delta}{2}\)。
11、B 类标准不确定度的自由度
\[ \nu_i \approx \frac{1}{2} \frac{u^2(x_i)}{\sigma^2[u(x_i)]} \approx \frac{1}{2} \left[ \frac{\Delta[u(x_i)]}{u(x_i)} \right]^{-2} \]关系表：
| \(\Delta[u(x_i)]/u(x_i)\) | 0 | 0.10 | 0.20 | 0.25 | 0.50 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\nu_i\) | \(\infty\) | 50 | 12 | 8 | 2 |
12、正态分布 \(k\) 值和概率 \(p\) 的关系
| \(p\) | 0.50 | 0.68 | 0.90 | 0.95 | 0.9545 | 0.99 | 0.9973 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(k\) | 0.675 | 1 | 1.645 | 1.960 | 2 | 2.576 | 3 |
13、几种非正态分布时的 \(k\) 值（\(p=100\%\) 时）
(1) 均匀分布 \(\sqrt{3}\)；(2) 反正弦分布 \(\sqrt{2}\)；(3) 三角分布 \(\sqrt{6}\)；(4) 梯形分布 \(\sqrt{\frac{6}{1+\beta^2}}\)（\(\beta\) 为梯形上底半宽度与下底半宽度之比，当 \(\beta\) 等于 1 时，梯形分布变矩形分布；当 \(\beta\) 等于 0 时，变为三角分布）；(5) 两点分布 1。
14、合成标准不确定度
(0) 当被测量的测量模型为 \(Y = f(X_1, X_2, \dots, X_N)\) 时，被测量估计值 \(y\) 的合成标准不确定度（不确定度传播率）
\[ u_c(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 u^2(x_i) + 2 \sum_{i=1}^{N-1} \sum_{j=i+1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial x_j} r(x_i, x_j)u(x_i)u(x_j) } \]式中：
- \(y\)——被测量 \(Y\) 的估计值，又称输出量的估计值；
- \(x_i\)——输入量 \(X_i\) 的估计值，又称第 \(i\) 个输入量的估计值；
- \(\frac{\partial f}{\partial x_i}\)——被测量 \(Y\) 与有关的输入量 \(X_i\) 之间的函数对于输入量 \(x_i\) 的偏导数，称灵敏系数；
- \(u(x_i)\)——输入量 \(x_i\) 的标准不确定度；
- \(r(x_i, x_j)\)——输入量 \(x_i\) 与 \(x_j\) 的相关系数估计值；
- \(u(x_i, x_j)\)——输入量 \(x_i\) 与 \(x_j\) 的协方差，输入量 \(x_i\) 与 \(x_j\) 的协方差估计值为 \(r(x_i, x_j)u(x_i)u(x_j) = u(x_i, x_j)\)。
(1) 当各输入量间均不相关，即 \(r(x_i, x_j) = 0\) 时
\[ u_c(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{N} \left( \frac{\partial f}{\partial x_i} \right)^2 u^2(x_i) } \](2) 当被测量的函数形式为：\(Y = A_1 X_1 + A_2 X_2 + \dots + A_N X_N\)，且各输入量间不相关时
\[ u_c(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{N} A_i^2 u^2(x_i) } \](3) 当被测量的函数形式为：\(Y = A(X_1^{p_1} X_2^{p_2} \dots X_N^{p_N})\)，且各输入量间不相关时
\[ u_{c\text{rel}}(y) = \sqrt{ \sum_{i=1}^{N} p_i^2 u_{\text{rel}}^2(x_i) } \](4) 当输入量间相关系数均为 +1 时
\[ u_c(y) = \left| \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial f}{\partial x_i} u(x_i) \right| \]由此可见，当输入量都正强相关，且灵敏系数均为 1 时，合成标准不确定度是各输入量标准不确定度分量的代数和。也就是说，强相关时不再是方和根法合成。
15、合成标准不确定度的有效自由度
当各分量间相互独立且输出量接近正态分布或 \(t\) 分布时，合成标准不确定度的有效自由度为：
\[ \nu_{\text{eff}} = \frac{u_c^4(y)}{\sum_{i=1}^{n} \frac{u_i^4(x_i)}{\nu_i}} \]且
\[ \nu_{\text{eff}} \le \sum_{i=1}^{n} \nu_i \]实际计算中得到的有效自由度 \(\nu_{\text{eff}}\) 不一定是一个整数。如果不是整数，可以将 \(\nu_{\text{eff}}\) 的数字舍位到最接近的一个较低的整数。例如计算得到 \(\nu_{\text{eff}} = 12.65\)，则取 \(\nu_{\text{eff}} = 12\)。
16、输入量间相关性（协方差）
(1) 以下情况可取协方差为 0： ① \(x_i\) 和 \(x_j\) 中任意一个量可作为常数处理； ② 在不同实验室用不同测量设备、在不同时间测得的量值； ③ 独立测量的不同量的测量结果。
(2) 当两个量都因与同一个量有关而相关时，\(x_i = F(q)\)，\(x_j = G(q)\)，则协方差
\[ u(x_i, x_j) = \frac{\partial F}{\partial q} \frac{\partial G}{\partial q} u^2(q) \]式中：
- \(q\)——使 \(x_i\) 和 \(x_j\) 相关的变量 \(Q\) 的估计值；
- \(F\)、\(G\)——分别表示两个量与 \(q\) 的测量函数。
17、扩展不确定度
(1) 由合成标准不确定度 \(u_c\) 乘包含因子 \(k\) 确定
\[ U = k u_c \]式中：
- \(k\)——包含因子，一般取 2（包含概率 95%）或 3（包含概率 99%以上），当给出扩展不确定度 \(U\) 时，应注明所取的 \(k\) 值。
(2) 明确规定包含概率时的扩展不确定度
\[ U_p = k_p u_c \]式中：
- \(k_p\)——包含概率为 \(p\) 时的包含因子，正态分布的 \(k_p\) 根据合成标准不确定度 \(u_c(y)\) 的有效自由度 \(\nu_{\text{eff}}\) 和需要的置信水平 \(p\) 查表得到的 \(t\) 值就是置信水平为 \(p\) 的包含因子 \(k_p\)，\(k_p = t_p(\nu_{\text{eff}})\)。
18、计量标准考核
(1) 传递比较法 用被考核的计量标准测量一个稳定的被测对象，然后将该被测对象用另一个更高级的计量标准进行测量。若用被考核计量标准和高一级计量标准进行测量时的扩展不确定度（\(U_{95}\) 或 \(k=2\) 时的 \(U\)，下同）分别为 \(U_{\text{lab}}\) 和 \(U_{\text{ref}}\)，它们的测量结果分别为 \(y_{\text{lab}}\) 和 \(y_{\text{ref}}\)，应满足：
\[ |y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}| \le \sqrt{U_{\text{lab}}^2 + U_{\text{ref}}^2} \]当 \(U_{\text{ref}} \le \frac{U_{\text{lab}}}{3}\) 成立时，可以忽略 \(U_{\text{ref}}\) 的影响，此时上式可表示为：
\[ |y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}| \le U_{\text{lab}} \]对于某些计量标准，如量块，其检定规程规定其扩展不确定度对应于 99% 的包含概率，此时所给出的扩展不确定度所对应的 \(k\) 值与 2 相差较大。在进行判断时，应先将其换算到对应于 \(k=2\) 时的扩展不确定度。
(2) 比对法 如果不可能采用传递比较法时，可采用多个实验室之间的比对。若被考核实验室的测量结果为 \(y_{\text{lab}}\)，其测量不确定度为 \(U_{\text{lab}}\)，应满足：
\[ |y_{\text{lab}} - \bar{y}| \le \sqrt{\frac{n-1}{n}} U_{\text{lab}} \]19、计量比对参考值和其不确定度
(1) 使用参比实验室测量结果的算术平均值作为参考值 比对实验第 \(i\) 个测量点的参考值 \(Y_{ri}\) 如下式所示：
\[ Y_{ri} = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} Y_{ji} \]若各实验室的不确定度之间完全不相关，且比对实验中传递标准引入的不确定度的影响可以忽略，参考值 \(Y_{ri}\) 的不确定度按下式计算：
\[ u_{ri} = \frac{1}{n} \sqrt{\sum_{j=1}^{n} u_{ji}^2} \](2) 使用参比实验室测量结果的加权平均值作为参考值 当参与参考值计算的各实验室量值的测量不确定度可靠性可被确认而且有显著差异时，可采用加权平均法计算参考值。 若比对实验中传递标准引入的不确定度的影响可以忽略，则权重与各实验室宣称不确定度平方成反比，即 \(W_{ji} = \frac{1}{u_{ji}^2}\)。第 \(i\) 个测量点的参考值 \(Y_{ri}\) 如下式所示：
\[ Y_{ri} = \frac{\sum_{j=1}^{n} W_{ji} Y_{ji}}{\sum_{j=1}^{n} W_{ji}} = \frac{\sum_{j=1}^{n} \frac{Y_{ji}}{u_{ji}^2}}{\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{u_{ji}^2}} \]此时加权算术平均值的标准不确定度按下式计算：
\[ u_{ri} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{j=1}^{n} W_{ji}}} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{u_{ji}^2}}} \]20、计量比对结果的评价
归一化偏差 \(E_n\) 值计算公式
(1) 当参比实验室的结果不参加参考值的确定时
\[ E_n = \frac{y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}}{\sqrt{U_{\text{lab}}^2 + U_{\text{ref}}^2}} = \frac{y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}}{2\sqrt{u_{\text{lab}}^2 + u_{\text{ref}}^2}} \](2) 当参比实验室的结果参加参考值的确定时
\[ E_n = \frac{y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}}{\sqrt{U_{\text{lab}}^2 - U_{\text{ref}}^2}} = \frac{y_{\text{lab}} - y_{\text{ref}}}{2\sqrt{u_{\text{lab}}^2 - u_{\text{ref}}^2}} \]式中：
- \(U_{\text{lab}}\)、\(U_{\text{ref}}\)——分别为实验室测量结果 \(y_{\text{lab}}\) 和参考值 \(y_{\text{ref}}\) 的扩展不确定度（\(k=2\) 或 \(U_{95}\)，如果是标准不确定度 \(u\) 或者其他置信概率下的扩展不确定度，要转换成 \(k=2\) 时的扩展不确定度）。
当 \(|E_n| \le 1\) 时，比对结果可接受； 当 \(|E_n| > 1\) 时，超出合理的预期，应分析原因。
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